Todos los pueblos
han dirigió sus esfuerzo al estudio de las Matemáticas. El inicio de las
matemáticas es similar al lenguaje y al arte.
El hueso de Ishango, datado en el
paleolítico superior, hace 35.000 años, es uno de los primeros artilugios
contables de la historia humana.
Actualmente discutimos si surgió en
África hace unos 100.000 años o si aún tubimos que esperar a su surgimiento en
Europa hace apenas 40.000. Lo que sí parece estar claro, por las
características de las herramientas y otros parámetros, es que en el momento en
el que situamos el origen de nuestra especie por sus características
anatómicas, nuestras capacidades cognitivas no debieron ser muy distintas de
las del hombre de Neandertal.
La visión estándar
en historia de la matemática
La primera pieza a la que se han
venido refiriendo los historiadores de la matemática es un hueso
de lobo de unos 35.000 años, encontrado en Dolni Vestonice (Moravia,
República Checa), donde también se descubrió una cabeza de mujer esculpida en
marfil. En el hueso, de unos 18 centímetros de largo, se encuentran 55 muescas,
las marcas se consideraban agrupadas de cinco en cinco y separadas por dos
trazos intermedios más largos en dos series, una de 30 (= 6×5) muescas, y otra
de 25 ( = 5 x 5).
Las muescas sugieren el registro
contable de una colección con ese mismo número de objetos, pero no existe tal
supuesto agrupamiento de cinco en cinco, que sugeriría en el autor una posible
correspondencia de las marcas de cada grupo con los dedos de la mano.
Como antes, podrían aventurarse
diferentes hipótesis acerca de los posibles contenidos matemáticos de la
varilla más allá de las pretensiones meramente decorativas del autor. Pero para
ello sería necesario estudiar la pieza directamente.
Realmente, el tipo y cantidad de
materiales en los que indagar posibles manifestaciones simbólicas relacionadas
con el registro de algunas cantidades empieza a ser notable. En la literatura
sí se suele dar entrada a un asta de reno, fechado hace unos 15.000 años,
hallado en Brassempouy (Las Landas, Francia), y conservado en el Museo de
Aquitania de Burdeos. En él se encuentran marcados 1, 3, 5, 7 y 9 trazos
rectilíneos, en una disposición que ha dado lugar a no pocas conjeturas en lo
que se refiere a las pretensiones matemáticas de su autor.
Así Ifrah la ha
considerarlo una especie de “herramienta aritmética” que contiene una
representación gráfica de los primeros números impares, así como una
disposición que permite hallar rápidamente algunas propiedades elementales.
Placa de Gorge Enfer
En esta pieza no parece sencillo
encontrar propiedades aritméticas tan sugerentes como en la precedente.
Hacia el
registro del tiempo: la cota Marshack
Ciertamente, los diferentes grupos
humanos del Paleolítico Superior pudieron sentir la necesidad de realizar
registros contables de diferentes colecciones de objetos o sucesos. De entre
estos últimos, uno debió ser, sin duda, el transcurrir del tiempo tomando como
unidad el día, agrupándolos según meses lunares o, incluso, contemplando series
temporales mucho más largas. Por supuesto, la certeza en la repetición
constante en el tiempo de estos procesos pudo constituir una de las primeras
motivaciones contables de nuestros antepasados:
La comunidad
científica internacional tiene asumido que en África comenzaron a utilizarse
instrumentos para contar desde hace 37.000 años: Deentre estas
piezas destaca el Hueso de Lebombo , un peroné de babuino con
29 incisiones paralelas hallado, junto con otros trozos de madera y hueso
grabados, en la Cueva de Border, en las montañas Lebombo entre Sudáfrica y
Swazilandia. El hueso está fracturado, y no se sabe si originalmente tenía 29 ó
30 muescas (en el hueso completo no cabrían más incisiones); pero, en cualquier
caso, es plausible su relación con el cómputo de días del mes lunar.
Numeración egipcia
El conocimiento de
los métodos de cálculo de los egipcios y su aplicación en distintos problemas
proviene de las inscripciones talladas en piedras, de los calendarios y sobre
todo de algunos papiros. Entre los más antiguos cabe destacar, especialmente
dos: el papiro Golenischevse que se conserva en Moscú y el papiro Rhind o de
Ahmes que se encuentra en el British Museum.
Los estudios
matemáticos en el Antiguo Egipto tuvieron un origen práctico. Alcanzaron un
gran nivel en las manipulaciones aritméticas pero sus métodos eran toscos y sin
grandes generalizaciones. Casi no hay simbolismo y los egipcios eran poco dados
a investigaciones abstractas. Trabajaron sobre todo en geometría y aritmética.
Desde el tercer
milenio a.C., los egipcios crearon un sistema de numeración decimal,
es decir contaban de 10 en 10, no tenían símbolo para el cero y utilizaban los
jeroglíficos para representar los distintos órdenes de unidades.
El procedimiento era
de tipo aditivo, es decir, las cifras eran repetidas. Así, por ejemplo, si el
uno se escribía como una línea vertical, el cuatro era representado como cuatro
líneas verticales. Un signo no se repetía más de nueve veces seguidas, ya que a
la décima vez se utilizaba el número siguiente.
Se usaban tantos de
cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda
a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras
según el caso.
Como no importaba el
orden, se escribían a veces según criterios estéticos y solían ir acompañados
de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto
(animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban.
Pero en un principio
los egipcios escribían los nueve primeros números colocando símbolos de la
unidad, uno a continuación de otro; más tarde utilizaron la representación por
desdoblamiento mientras los arameos de Egipto usaban un principio ternario:
Estos signos fueron
utilizados hasta la incorporación de Egipto al Imperio Romano. Pero su uso
quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue
sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más
simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas.
En estos sistemas de
escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y así se
introdujeron símbolos particulares para 20, 30, 90, 200, 300, 900, 2 000, 3
000… con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una
cifra.
Estos jeroglíficos numéricos
estaban reservados a las inscripciones sobre monumentos de piedra. Los escribas
para realizar los documentos de tipo administrativo, astronómico, etc., fueron
simplificando el trazo hasta obtener los llamados signos hieráticos. Por
ejemplo, el 20 en notación jeroglífica se escribía 
, mientras en hierática se denotaba
mediante 
.
, mientras en hierática se denotaba
mediante .
El escriba o
calculador egipcio realizaba operaciones aritméticas elementales, con números
enteros y el uso casi exclusivo de fracciones unitarias. El papiro de Rhind
contiene al principio una tabla en la que se expresan las fracciones de
numerador 2 y de denominador impar entre 5 y 101, como suma de fracciones
unitarias. Con ellas efectuaban las cuatro operaciones aritméticas con
fracciones.
La naturaleza de los
números irracionales no llegó a reconocerse en la aritmética egipcia. Las
raíces cuadradas sencillas que aparecían en los problemas se expresaban
mediante números enteros y fracciones.
Numeración
Romana
La numeración romana
es un conjunto de símbolos y reglas que se desarrolló en la antigua Roma y se
utilizó en todo su imperio, que permiten construir todos los números válidos en
el sistema.
En la numeración
romana se usan algunas letras mayúsculas a las que se ha
asignado un valor numérico.
En la actualidad se usan
principalmente:
– En los números de
capítulos y tomos de una obra
– En los actos y escenas de una obra de teatro
– En los nombres de papas, reyes y emperadores
– En la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, certámenes…
– En algunos relojes
– En los actos y escenas de una obra de teatro
– En los nombres de papas, reyes y emperadores
– En la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, certámenes…
– En algunos relojes
Símbolos
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1 000
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1 000
Los romanos
desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así es que no
existe ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el
valor cero.
Los múltiples
símbolos pueden ser combinados para producir cantidades entre estos valores,
siguiendo ciertas reglas en la repetición:
1. Cuando a la
derecha de una cifra se escribe otra igual o menor, el valor resultante es la
suma de los dos valores de las cifras
Ejemplo:
XI = 11
CC = 200
XI = 11
CC = 200
2. La cifra I
colocada a la izquierda de la V o la X, le resta una unidad; a la derecha les
suma una unidad
Ejemplo:
IV = 4 VI = 6
IX = 9 XI = 11
IV = 4 VI = 6
IX = 9 XI = 11
3. La cifra X
colocada a la izquierda de la L o la C, les resta 10 unidades; a la derecha les
suma 10 unidades
Ejemplo:
XL = 40 LX = 60
XC = 90 CX = 110
XL = 40 LX = 60
XC = 90 CX = 110
4. La C colocada a
la izquierda de la D o la M, les resta 100 unidades; a la derecha les suma 100
unidades
Ejemplo:
CD = 400 DC = 600
CM = 900 MC = 1 100
CD = 400 DC = 600
CM = 900 MC = 1 100
5. Una cifra no se
puede repetir más de 3 veces seguidas
Ejemplo:
XXXIV representa 34, en vez de XXXIIII
XXXIV representa 34, en vez de XXXIIII
6. Las cifras V, L
y D no se pueden duplicar, ya que, las cifras X, C y M representan sus valores
duplicados
X representa 10 en
lugar de VV
C representa 100 en lugar de LL
M representa 1 000 en lugar de DD
C representa 100 en lugar de LL
M representa 1 000 en lugar de DD
7. Si entre dos
cifras cualquiera hay otra menor, ésta restará su valor a la siguiente
Ejemplo:
XIV = 14
CXL = 140
XIV = 14
CXL = 140
8. Un trazo
horizontal sobre un símbolo, lo multiplica por 1 000
Ejemplo:
M = 1 000 x 1 000 = 1 000 000
M = 1 000 x 1 000 = 1 000 000
Ahora que ya conoces
los símbolos y reglas, si quieres escribir 1 609, deberás hacerlo así:
1 609 = 1 000 + 600 +
9 = M + DC + IX = MDCIX
Numeración
Maya
Los mayas agruparon
símbolos sumando hasta el 19, y a los números mayores les asignaron un valor
según su posición.
Los números
mayas se usaban para medir el tiempo y no las matemáticas. Por ese
motivo tienen relación con los días, meses y años y en definitiva con el
calendario. La numeración maya posee solo tres
símbolos para representar los números, como podemos ver en el
siguiente gráfico que representa en numeración maya los números del 0 al 19.
El valor del caracol era cero.
La unidad se
representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para
2, 3 y 4.
El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.
El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.
, mientras en hierática se denotaba
mediante 
.
